＊DSE Maths/AL M&S : Probability Distribution2

題目: 小明每日返學(唔計六日)都買一張擦擦卡, 有"1", "2", "3" 三個number其中一個, 一個禮拜內開到三個1就可以換到一個A, 四個2可以換到一個B, 3就乜都冇, 1,2,3唔可以累積落下個禮拜, 總共兩個A可以換到大奬, 二個B換到二奬, 假設一張卡擦到1既prob係0.05,擦到2係0.25,擦到3係0.7, 買四個禮拜(20日):

a) 一個week換到Aor換到B既prob分別係?
換到A: geometric咁計X~Geo(0.05): 第三日開到第三個1 +  第四日開到第三個1 + 第五日開到第三個1:
0.05^3 + 3C1 * ( 1-0.05 ) * 0.05^3 + 4C2 * ( 1-0.05 )^2 * 0.05^3 = 0.001158 -- a
換到A: binomial咁計X~B(5,0.05): 一個week內拎到起碼(at least)三個1
P(X>3) = 5C3 * 0.05^3 * 0.95^2 + 5C4 * 0.05^4 * 0.95 + 0.05^5 = 0.001158 -- a
換到B: geometric咁計Y~Geo(0.25): 第四日開到第四個2 +  第五日開到第四個2
0.25^4 + 4C1 * ( 1-0.25) * 0.25^4 = 0.015625 -- b
換到B: binomial咁計Y~B(5,0.25): 一個week內拎到起碼(at least)四個2
P(Y>4) = 5C4 * 0.25^4 * 0.75 + 0.25^5 = 0.015625 -- b

b) 換到大奬(四個禮拜內有2個A就有)or二奬(四個禮拜內有2個B就有)既prob分別係?
換到大奬: geometric咁計A~Geo(a = 0.001158):
第二個week換到第二個A + 第三個week換到第二個A +  第四個week開到第二個A:
a^2 + 2C1 * (1-a) * a^2 + 3C2 * (1-a)^2 * a^2 = 0.000008035099777
換到大奬: binomial咁計A~B(4,a): 四個week內拎到起碼(at least)二個A
P(A>2) = 4C2 * a^2 * (1-a)^2 + 4C3 * (1-a) * a^3 + a^4 = 0.000008035099777
換到二奬: geometric咁計B~Geo(b = 0.015625):
第二個week換到第二個B + 第三個week換到第二個B +  第四個week開到第二個B:
b^2 + 2C1 * (1-b) * b^2 + 3C2 * (1-b)^2 * b^2 = 0.001434504986
換到二奬: binomial咁計B~B(4,0.015625): 四個week內拎到起碼(at least)二個B
P(B>2) = 4C2 * b^2 * (1-b)^2 + 4C3 * (1-b) * b^3 + b^4 = 0.001434504986

c) given小明換到一個大奬, 佢最後一個week先換到既prob?
分母: 換到一個大奬: P(A=2 or 3) = 4C2 * a^2 * (1-a)^2 + 4C3 * (1-a) * a^3 = 0.000008035097978
分子: 換到一個大奬 & 最後一個week先換到..
即係geometric既"第四個week開到第二個A": 3C2 * (1-a)^2 * a^2 = 0.000004014445908
or binomial咁計: P(A=2 & 第二個A排LAST位) = 4C2 * a^2 * (1-a)^2 * 3! *2! / 4! = 0.000004014445908
分子除分母 = 0.000004014445908 / 0.000008035097978 = 0.4996

d) given小明換到奬, 佢淨係拎到一個奬既prob?
分母: 換到奬 : 1C0D + 1D0C + 2C + 2D + 1C1D -> 換到C + 換到D (b part ans) - 1C1D
0.000008035099777 + 0.001434504986 (b part ans) - 4C2 * a^2 * b^2 = 0.001442538121
分子: 換到奬 & 淨係拎到一個奬: 1C0D + 1D0C -> 換到奬 - 1C1D - 2C - 2D
0.001442538121(分母) - 4C2 * a^2 * b^2 - a^4 - b^4 = 0.001442478514
分子除分母 = 0.999957317

e) given小明換到一個奬, 呢個奬係大奬既prob?
分母: 換到一個奬:  1C0D + 1C0D = 0.001442478514 (d part分子)
分子: 換到一個奬 & 呢個係大奬: -> 2A1B or 2A0B or 3A1B or 3A0B =
4C2 * a^2 * 2C1 * b * ( 1-a-b ) + 4C2 * a^2 * ( 1-a-b )^2 + 4C3 * a^3 * ( 1-a ) = 0.000008033133251
分子除分母 = 0.005638136604

f) given呢4個week得1A1B, 而家係月尾, 小明唔甘心要買到中到奬為止(大或二都得), 佢平均要等多幾多個week? (呢條我諗完都唔係咁肯定~haha)
買到中奬為止~即係geometric, mean係1/p, p = 中AorB機會 = a+b = 0.016783125
1/p = 59.58365918..(單位係week..即係要成年=.=), 問題係1/p只係計每次中AorB平均隔左幾多個week, 
注意而家係月尾..即係第四week尾, 唔一定岩岩中完AorB..
頭4個week中1A1B可以有幾種情況:
第二個week就中1A1B -> 等少兩個week -> 1/6 機會(計互排je..自己試下計)
第三個week先中1A1B -> 等少一個week -> 1/3機會
第四個week先中1A1B -> 岩岩先中完, 冇等少到 -> 1/2機會
所以ans應該係..1/6 * ( 1/p - 2 ) +  1/3 * ( 1/p - 1 ) + 1/2 * ( 1/p )
= 58.91699251 week

DSE Maths-Core : Inequality不等式

不等式(Inequality)有分幾種..一元一次(linear), 一元二次(quadratic)同二元一次
二元一次不等式即係線性規劃~之前講過了

一元一次:
x+2 > 0  或(or)  x-3 < 5, 搵 x 既range
x > -2 or x < 8
所有實數 all real values of x

x+2 > 0  和(and)  x-3 < 5
x > -2 and x < 8
-2 < x < 8

一元二次:
y = x^2 + 3x + 2 > 0
首先當佢等如0咁解左佢先
x^2 + 3x + 2 = 0
x = -1 or -2
之後睇x^2前面個系數(coefficient)係正定負
正 -> y>0 -> x大過大d果個解 or 細過細d果個解
正 -> y<0 -> x係兩個解中間  (x細過大d果個解 and 大過細d果個解)
負 -> y>0 -> x係兩個解中間  (x細過大d果個解 and 大過細d果個解)
負 -> y<0 -> x大過大d果個解 or 細過細d果個解
呢條ANS:
x^2前面係正 -> y>0 -> x大過大d果個解 or 細過細d果個解:  x < -2 or x > -1

不等式做法同平時既等式基本一樣..除左:
兩面乘除一個負數, 個符號就要掉轉

＊DSE Maths/AL M&S: Probability 概率3

題目一: 10粒波, 2黃(Y) 3藍(B) 5紅(R) , 抽4粒, 抽到2藍既prob

ANS 1: 3C2 * 7C2 / 10C4 = 0.3
ANS 2: 跟返第1st粒揀出黎, 第2nd粒揀出黎..咁諗
第1st粒揀中藍波: 3/10
第2nd粒揀中藍波:2/9
第3rd粒揀中其他波: 7/8
第4th粒揀中其他波: 6/7
咁計就預設左個次序係BBOO, 要乘返藍波同其他波互排(即係B同O), 即係乘返4C2
點解要乘?因為分母係10*9*8*7係計左排序, 咁分子咪要計返~分子3*2只係計左BB自己互排同7*6計左OO自己互排, 冇計藍波同其他波互排
3/10 * 2/9 * 7/8 * 6/7 * 4C2 = 0.3

題目二: 10粒波, 2黃(Y) 3藍(B) 5紅(R) , 抽4粒, 總共抽到2B & 呢2B要係頭兩粒既prob

ANS 1:  ( 3C2 * 7C2 / 10C4 ) * ( 2! * 2! / 4! ) = 0.05
用nCr去計prob條式係成個情況咁去諗, 其實計晒2粒B抽出黎排所有位既機會
所以要乘返2粒B排頭位既機會(2B排頭位既排法係2!2!, 冇限制既排法係4!)
ANS 2: 3/10 * 2/9 * 7/8 * 6/7  = 0.05
呢條式係逐粒波去諗,已經預設左個次序係BBOO, 所以呢個就係ANS

題目三: 10粒波, 2黃(Y) 3藍(B) 5紅(R) , 抽4粒, 起碼2粒紅既prob

ANS: ( 5C2 * 5C3 + 5C3 * 5C2 + 5C4 * 5C1 ) / 10C4

題目四: 10粒波, 2黃(Y) 3藍(B) 5紅(R) , 抽5粒, given頭2粒係藍, 抽到起碼2粒紅既prob

ANS 1:
given咩就擺咩做分母~頭2粒係藍既prob係 3/10 * 2/9 = 1/15 (分母可以唔洗諗後面d波)
or諗埋後面d波可以係 ( 3C2 * 8C3 / 10C5 * ( 2! * 3! / 5! ) = 1/15,
(8C3個8有一個element係前面個3C2揀淨既B, 即係計左前面藍波同後面藍波互排(但冇計到前2粒自己互排), 本身計多左, 但後面乘個prob係"特定B排頭兩位既prob, 抵消左, 所以冇問題)<-呢度有唔明可以問我, 好難解釋清楚..
分子係頭2粒係藍 & 抽到起碼2粒紅,
2B2R1Y: 3C2 * 5C2 * 2C1 / 10C5 * ( 2! * 3! / 5! ) +
2B1B2R: 3C3 * 5C2 / 10C5 * ( 3! * 2! * 3 / 5! ) +
2B3R: 3C2 * 5C3 / 10C5 * ( 2! * 3! / 5! )
= 1/21
or 一次過: 3C2 * 5C2 * 4C1 / 10C5 * ( 2! * 3! / 5! ) = 1/21
(4C2個4包左前面1個揀淨既B同1個揀淨既R, 即係計左前2B同後1B互排 & 前2R同後1R互排, 但後面係特定2B排頭同特定3O排尾既prob, 抵消左)
分子除分母 = 1/21 / (1/15) = 5 / 7

ANS 2:
之前講過如果題目given既情況只係得一種..可以試下唔洗除既方法
已經揀走左2粒藍波..即係得返2Y1B5R
揀多3粒(加埋頭2粒等如5粒)起碼2粒紅(之前2粒冇紅)既prob:
( 5C2 * 3C1 + 5C3 ) / 8C3 = 5/7..係咪簡單好多呢..

題目五: 10粒波, 2黃(Y) 3藍(B) 5紅(R) , 抽5粒, given起碼2粒紅, 抽到頭2粒係藍既prob

呢條同上面個條岩岩掉轉~
given既情況係2R,3R,4R,5R(唔洗理題目後面問咩), 所以應該用唔到唔洗除既方法..一定要除
分母: ( 5C2 * 5C3 + 5C3 * 5C2 + 5C4 * 5C1 + 5C5 ) / 10C5 = 113 / 126
分子: 係頭2粒係藍 & 抽到起碼2粒紅(唔好漏左given個情況), 即係同上面個條一樣: 1/21
分子除分母: 1/21 / (113/126) = 6/113

DSE Maths-Core : Quaduatic Equation一元二次方程3

題目一: y = x^2+3x-9, 有幾多個實根(real roots)?

解既數目係計 D = b^2 - 4ac
b^2 - 4ac > 0  --> 兩個解/實根
b^2 - 4ac = 0 --> 一個解/重根(repeated roots)
b^2 - 4ac < 0 --> 冇解/實根(no solution)
ANS: 3^2 - 4(1)(-9) = 45 > 0 -->兩個解

題目二: y = x^2+3x-9, y既極值(extreme value)?

y既極值 (頂點(extreme point)既y座標) 係 -D / 4a, 即係 -(b^2-4ac) / 4a
相應既x (頂點既x座標) 就係 -b/2a, 即係條function既對稱軸方程係 x = -b/2a
咁點決定個數值係最大值(maximum value)定最小值(minimum value)?就要睇個a
a > 0 --> 條線笑哈哈 --> 頂點係最下 --> 最小值
a < 0 --> 條線苦瓜乾 --> 頂點係最上 --> 最大值
ANS: -45/ 4(1) = -45/4, a係1>0 --> -45/4係最小值

＊DSE Maths/AL M&S: Probability 概率2

首先要講返概率(probability)同nCr既基本野
概率係一個分數: r/n
r係題目要求你揀既野可以揀既數量, n係題目given左既情況之下冇任何限制可以揀既數量
有幾多個分數就代表揀左幾多次
例如: 3/5 -> 得一個分數, 即係只揀一次 -> 總共有5樣野 -> 要揀個樣野有3件(可以揀, 但唔係揀左) -> 有3/5既機會揀中個樣野
組合係一個整數: nCr
r係nCr代表既野揀左幾多樣出黎, n係題目given左既情況之下冇任何限制可以揀既數量
例如: 5C3 -> 總共有5樣野 -> 你揀左3樣野出黎(真係揀左)
基本上概率同組合都代表緊一樣野, 寫完一個prob或者nCr出黎之後要諗下係代表緊咩

＊要搞清楚概率個分子同組合nCr個r有咩分別!!!

其次, 如果話有4粒波(n), 當中有3粒紅波(prob個r), 揀1粒(nCr個r)揀中紅波既prob
要搞清楚答 1/3(錯) 同 3/4(岩) 既分別 
1/3係當左你冇限制之下只可以揀3粒紅波, 即係題目given左你一定要揀紅, 而當中得1粒符合題目要求
3/4係你冇限制之下可以揀4粒波, 而當中有3粒符合題目要求(唔係揀左3粒)
"只揀1粒" <- 呢樣野已經反映左係 "3/4得一個分數" 呢度, 所以唔好以為揀1粒就係幾多份之一

＊記住prob個分子唔係代表要揀幾多粒! 要揀幾多粒係反映o係有幾多個分數度

＊仲有唔好亂幫題目given情況! 咁會影響prob個分母!

以下題目都係用nCr去計prob, 遲d會講下用nCr計prob同用返普通分數計prob既分別

題目一: 六合彩中頭奬, 二奬 同 三奬 機會分別係幾多?
總共49個number, 一條飛買6個, 攪珠攪6個正常number(N)+1個特別號碼(S)
頭奬: 6個N; 二奬: 5N+1S; 三奬: 5N

ANS:
頭奬: 6C6 * 1C0 * 42C0 / 49C6
二奬: 6C5 * 1C1 * 42C0 / 49C6
三奬: 6C5 * 1C0 * 42C1 / 49C6

題目分左正常number,特別number同其他攪唔出既number(唔好漏左呢個呀..)三種,所以分開呢三類..
呢條式可以理解為  當六合彩已經攪左, 你買個條飛抽中d波既number既prob

＊分子幾個nCr(波)既n加埋一定係分母個n(6+1+42=49);

＊分子幾個nCr(波)既r加埋一定係分母個r(6+0+0=6 or 5+1+0=6 or 5+0+1=6)

(ps.理論上買千幾萬條飛先會中一次頭奬,每條$10,即係平均要比億幾先中到頭奬..但頭奬有幾可有億幾奬金..所以奉勸大家~長賭必輸呀)

題目二: 抽2隻啤牌出黎,抽到一對pair(數字一樣)既prob

ANS: 13C1 * 4C2 / 52C2 = 1/17

首先抽一種數字出黎先(13C1), 再係個一隻數字入面4隻花揀2隻出黎(4C2)

問題一: 上面講分子既n同r加埋一定等如分母個n同r, 但呢條式13+4唔等如52, 1+2又唔等如2 wo?

因為13C1係數字, 4C2係花, 分母52C2係牌, 唔同野黎, 上面講分子同分母幾個nCr都係同一樣野(波)

13個4C2,個n咪有13x4=52(牌), r加埋咪2(牌)~所以上面講既野冇錯的~

問題二: 點解4C2 * 1/13 * 1/13 * 13唔岩? 當兩隻唔同花, 每隻花有1/13機會抽中某一數字, 兩隻花同數字機會就1/13 * 1/13 * 13, 再乘返4C2(4隻花揀2隻), 好似好合理咁..

但咁諗其實係當題目given左兩隻係某兩隻特定唔同既花, 但題目係冇given任何野

所以要乘返兩隻特定唔同既花既機會 13C1 * 13C1 / 52C2, 咁都計到1/17

好似上面一開波咁講, 唔好亂咁幫條題目given左d情況..

題目三: 抽4隻牌, 抽中2對pair既prob

ANS: 13C1(字) * 4C2(花) * 12C1(字) * 4C2(花) / ( 2! * 52C4 )

問題一: 點解要除2! ???

我之前有一篇關於排列組合講既野就派上用場鳥~

13C1個13係包左後面12C1個12 

即係話13C1 * 12C1 係計左兩個數字互排, 而兩對pair數量一樣, 

即係分子計左 AA 22同 22 AA, which is 一樣既情況, 而分母52C4係冇計到排列(permutation), 所以請除2!

題目四: 抽5隻牌, 抽中"俘虜"既prob (3隻一樣+2隻一樣)

ANS: 13C1(字) *4C3(花) * 12C1(字) * 4C2(花) / 52C5

問題一: 點解今次又唔洗除2! ??? 13C1 * 12C1 唔係計左互排咩?

係計左兩個數字既互排(而唔係一隻數字入面花既互排), 但今次因為數量唔同(3+2)

13C1 * 12C1 係計左 AAA 22 同 222 AA, which is 唔同情況, 所以唔洗除2!

DSE Maths-Core: Trigonometry 三角學3

題目: ( 5 - sin x ) / ( 4 + sin x ) 最大值? 0' < x < 90'

第一,分子個x要同分母個x一樣; 第二,x要係0'~90'
分子分母都有sin x難諗d,所以可以變走分子個sin x,如下:

( -sin x + 5 ) / ( sin x + 4)

= -1 + 9 / ( sin x + 4 )

呢條式點黎?
試下用返普通既除式去計, -1係個商(quotient), 9 係個餘數(remainder), -sin x + 4係個除數(divisor)
用返數字做例子, 7/2 = 3 + 1/2
或者夠聰明既..可以咁:
( - sin x + 5 - 4 + 4 ) / ( sin x + 4) --- 紅字約左做-1
= -1 + 9 / ( sin x + 4 )

變到呢條式後..計最大值即係要分母sin x + 4 最細, 即係要sin x 最細, 0' < x < 90' 入面 sin x 最細係0,所以就代0喇~
-1 + 9 / ( 0 + 4 ) = 5/4

DSE Maths/AL M&S : Linear equation 線性方程

L1: Ax+By+C = 0 ; L2: Dx+Ey+F = 0

斜率(slope): -A/B ;  y截距(y-intecept): -C/A ;  x截距(x-intecept): -C/B
平行: 兩條線斜率(slope)一樣 ;  垂直: 兩條線斜率相乘等如-1

題目: L1: 4x+3y-5=0, 以下邊條線同L1平行?垂直?

a) 3x+4y-7=0
b) 4x-3y+8=0
c) 4x+3y-9=0
d) 3x-4y+10=0

做法一: 以上逐條線用-A/B計個斜率出黎, 睇下邊條同L1斜率相等or相乘等如-1
做法二: L1係4x+3y-5=0,同佢平行既線一定係4x+3y開頭(or 8x+6y, 12x+9y...)
同L1垂直既線係將4同3個位掉轉,然後中間正負號掉轉,即係3x-4y開頭(or 6x-8y, 12x-9y...)

所以(c)係同L1平行, (d)係同L1垂直

＊DSE Maths-Core IX: Trigonometry 三角學2

題目: sin x = -1/2, x=?,    0 < x < 360

而家掉返轉搵角,都係有兩個做法

步驟一: 唔好理個負號, 禁機禁shift sin 1/2
搵左隻參考角(reference angle)出黎先
sin x = 1/2 -> 參考角 = 30'

步驟二: 再睇佢個正負號,用返ASTC去決定隻角(x)係邊個象限(quadrant)
負 -> sin -> 即係 III or IV quadrant
咁x就等如 180'+30' or 360'-30' -> x = 210' or 330'
道理同之前個篇講既一樣..雙數乘90'既話sin,cos,tan唔變

所以決定左個象限之後要搵雙數乘90'去加減隻參考角,請唔好用單數乘90'

(隻參考角係痴住x軸,即係雙數乘90'條線)

直接禁機 shift sin -1/2 既話, 只會得一個答案, 而且未必係 0'-360'

eg2. cos x = 1

cos x = 1 -> 參考角 = 0'
正 -> cos -> I or IV quadrant
x = 0' or 360'-0' -> x = 0' or 360'(rej)(睇返一開始個range)

eg3. tan x = -1

tan x = 1 -> 參考角 = 45'
負 -> tan -> II or IV quadrant
x = 180'-45' or 360'-45' -> x = 135' or 315'

＊DSE Maths-Core VII: Trigonometry 三角學1

題目: sin(210'), withour calculator   (個 ' 當係degree啦...)

呢部分好重要好重要~主要有兩個steps

步驟一: 將個度數(degree)變做(0',90',180',270',360'...+/- x')
210' --> 180'+30' or 270'-60'

＊前面隻角係單數乘90'既, 個 sin變cos , cos變sin , tan變1/tan

＊前面隻角係雙數乘90'既, 個sin,cos,tan唔變
＊後面隻角照寫, 唔洗理加定減

sin(210') = sin(180'+30) -> sin30'  or

sin(210') = sin(270'-60) -> cos60' (加定減唔洗理)

步驟二: 睇下210'係邊個象限(quadrant), 跟返ASTC個野去決定正負號

210' -> 第三象限(III quadrant) -> T, tan係正數

sin210' 本身係 sin (記住係睇未變果個, 唔好睇變左果個) -> 負

so

sin(210') = sin(180'+30) = - sin30'  or

sin(210') = sin(270'-60) = - cos60' 

eg2. cos150'

cos150' = cos(180'-30') -> cos30',

150' -> II quadrant -> cos 係負 -> -cos30'

eg3. sin330'

sin330' = sin(270'+60') -> cos60'

330' -> IV quadrant -> sin 係負 -> -cos60'

eg4. tan225'

tan225' = tan(270'-45') -> 1 / tan45'

225' -> III quadrant -> tan 係正 -> + 1/ tan45'

eg5. sin(-45')

sin(-45') = sin(-90'+45') -> cos45'  (-90'當係單數(-1)乘90')

-45' -> IV quadrant -> sin 係負 -> -cos45'

＊DSE Maths/AL M&S: Probability 概率

題目: In a city, there is 45% people who support People Power. Others support LYL. In those people who support People Power, 70% of them are clever, others are stupid. In those people who support LYL, 80% of them are stupid, others are clever.
有45%人支持人民力量,其他支持禮義廉;人民力量支持者入面有70%既人係聰明,其他係蠢;禮義廉支持者入面有80%係蠢,其他係聰明.

a) what is the probability that a chosen person is stupid?and clever?

好簡單~畫個tree diagram出黎就一了百了~
ans: stupid: 0.45*0.3 + 0.55*0.8 = 0.575; clever: 1-0.575 = 0.425(因為唔係stupid就係clever)

b) if a chosen person is LYL fans, what is the probability that he is stupid?

ans: 0.55*0.8 / 0.55, 其實即係0.8~
見到"if xxxxx", "suppose xxxx," 就一定係conditional probability喇~題目if"乜野",就擺"乜野"做分母~

c) if a chosen person is stupid, what is the probability that he is LYL fans?

ans:( 0.55*0.8 ) / (0.55*0.8 + 0.45*0.3) = 0.7652
分母係stupid, 分子係stupid & LYL fans(分子唔好漏左stupid個part哦),
可以見到..conditional probability好多時個分子可以係個分母度搵出黎(0.55*0.8)~

d) if 5 people are chosen, what is probability that there is exactly 4 LYL fans?

ans: 5C1 * 0.55^4 * 0.45 = 0.2059

好普通既Binomial..但上面講左只要係if xxxx就一定係conditional probability, 咁呢條點解唔洗除?

因為係if 5 people are chosen, 由頭到尾都冇乘過5 people are chosen既prob, 又洗乜除呢~

e) if 5 stupid people are chosen, what is probability that there is at least 3 LYL fans?

方法一: 分母(conditional prob習慣諗左分母先..): (0.575)^5
分子: at least 3 LYL & stupid, others are People Power & stupid:

5C3 * (0.55*0.8)^3 (0.45*0.3)^2 + 5C4 * (0.55*0.8)^4 (0.45*0.3)^1 + 

5C5 * (0.55*0.8)^5 (0.45*0.3)^0

分子除分母 = 0.9119

方法二: 5C3 * 0.7652^3 * (1-0.7652)^2 + 5C4 * 0.7652^4 * (1-0.7652) + 0.7652^5 = 0.9119
呢個方法唔洗除, 因為given左5個都係stupid..直接用(c) part個conditional prob(0.7652)做呢個Binomial既p就ok鳥~

如果given左個condition只係得一個情況(5個stupid),可以試下用唔用到唔洗除既方法

f) if there is at least 3 stupid people out of 5 chosen people, what is the probability that exactly 3 of those stupid people is LYL fans?

如果個condition係at least呢..即係有幾個情況(3個stupid,4個stupid,5個stupid),咁就一定要用除既方法..(e part既方法一)

ans:
分母: 5C3 * 0.575^3 * 0.425^2 + 5C4 * 0.575^4 * 0.425^1 + 5C5 * 0.575^5 * 0.425^0 = 0.6385
分子:
3個LYLstupid & 2個clever(我冇限clever既係LYL定PP): 5C3 * (0.55*0.8)^3 * 0.425^2 +
3個LYLstupid & 1個係PP stupid & 1個係clever: 5C3 * (0.55*0.8)^3 * 2C1 * (0.45*0.3) * 0.425 +
3個LYLstupid & 2個係PP stupid: 5C3 * (0.55*0.8)^3 * (0.45*0.3)^2
分子除分母 = 0.4184 (希望冇計錯啦sosad)

DSE Maths-Core VI: 立體

題目: 如圖示,搵平面ABCD同BCEF既交角(angle between plane ABCD & BCEF)

重點: 要搵三角形,畫出黎既線要垂直(Perpendicular)
步驟:

^(1) 搵一條兩個平面交接既線

^(2) 係交接個點畫兩條垂直線去兩個平面既盡頭

^(3a)係其中一個盡頭畫一條完全垂直於另一平面既線-->形成一個直角三角形(唔一定係咁岩連起兩個盡頭,呢度我畫得唔係幾好..)

^(3b)係其中一個盡頭畫一條完全垂直於另一平面既線-->形成一個直角三角形(唔一定係咁岩連起兩個盡頭)

^(3c) 或者連起兩個盡頭-->形成一個普通三角形(呢度未必係直角,我畫得唔係幾好..)

^(4) 有三角形鳥,就用sin/cos/tan/sine or cosine formula計數~當然首先要知道邊長先啦~

＊DSE Maths/AL M&S III: Permutation & Combination 排列&組合2

題目: 12條友,分4組,每組3人,幾多種組合(combinations)?

ans: 12C3 *9C3 * 6C3 * 3C3 / 4!
點解要除4! ? 要小心 12C3 個12係包左後面9C3個9, 個9又包左後面個6..
即係話 12C3 *9C3 * 6C3 * 3C3 係計左4組互排(呢個point好緊要..有時大家唔知點解計唔到ans..就可能因為唔知呢樣野),如下: 
1) ABC DEF GHI JKL
2) DEF GHI ABC JKL
但case1同case2係冇分別,因為:

原因一) 4組數量一樣(3個人) and

原因二) 4組性質一樣

所以要除4!


題目二: 12條友,分4行排排坐睇演唱會,每行3人

ans: 12P3 *9P3 * 6P3 * 3P3
因為坐第一行同第二行係唔同..所以唔符合以上既原因二,唔洗除4!,

題目三: 12條友,分4組,分別為1,2,3,6人

ans: 12C1 *11C2 * 9C3 * 6C6  (邊組揀先都一樣)
因為每組人數唔同, 所以唔符合以上既原因一,唔洗除4!

題目四:  12條友,分4組,分別為2,2,4,4人

ans: 12C2 *10C2 * 8C4 * 4C4 / 2! 2!
有幾多組符合以上原因一&二..就除n!

＊題目五: 12條友,分4組A,B,C,D(即係當性質唔同),冇限每組有幾多人(可以0人),咁有幾多種分法?(請諗一諗再反白)

ans: (4C1)^12
頭4條都係組揀人,呢條就用人揀組,每個人都有4組可以揀,總共12個人,乘12次

呢條用組揀人都得,但就好煩好煩~要計晒4組 0,0,0,12; 0,0,1,11....咁多種情況
如果呢條4組性質一樣既話..就唔可以用人揀組呢個方法,因為唔知每個情況有幾多組數量一樣,就要用返組揀人

總之..無論用咩計法,只要數岩情況,都計到一樣既答案

題目六: 8條友分兩組,,每組4條友,AB君唔岩KEY一定要分開,有幾多種組合?

ans: 6C3 * 3C3

點解今次唔洗除2! ?明明兩組人數,性質都一樣

其實6C3 * 3C3 應該係1C1 * 1C1 * 6C3 * 3C3 ,

呢條式分開左 A , B , 非AB 三類, 6C3 * 3C3只係非AB既分法

A既1C1 個1 係冇包到 B既1C1個1, 所以係冇計到兩組互排,所以唔洗除
如果你條式係2C1 * 1C1 * 6C3 * 3C3, 咁就要除2!喇~
因為呢條式係分開左AB同非AB兩類only,
2C1個2係包左後面1C1個1,換言之係計左兩組互排(which is 唔應該計),所以要除

要搞清楚
1) 要唔要除(上面既原因一&二)
2) 你自己條式有冇除到(題目六解釋既野)
if 1)要除, 2)冇除, 就要除返; if 1)唔洗除, 2)除左, 就乘返啦~haa

希望大家明我講左d咩sosad

DSE Maths-Core V: Exponential & Logarithm 指數&對數

題目: 1 + log5 = log(x+3)

其實呢d好簡單..目標係整走個log,只要將兩邊變做log xxxxx 就可以一齊整走佢
log10 + log5 = log(x+3)
log50 = log(x+3)
50 = x+3
x = 47

既然咁容易..講黎做咩呢?
因為好多人都唔記得左log最基本個幾條公式..
log A + log B = log ( AB )
log A - log B = log ( A/B )
B log A = log ( A^B )
拜託唔熟都要記到熟..呢d係執分題黎..唔好簡單到唔記得點做~_~
兩個log相加 -> 一個log相乘..記住喇..  唔好搞錯log(A+B)呀..呢個冇得變架..

DSE Maths-Core IV: Variations變分

題目: z = k * x^2 / y^3

比x,y,z你叫你搵個k出黎..呢d就好簡單,要教既係百分比轉變(percentage change)
如: x上升20%, y下降30%, 咁z變幾多?

做法: z' (即係新既z) = k * ( x * (1+20%) )^2 / ( y * (1+30%) )^3

z' = k * (1.2x)^2 / (1.3y)^3

z' = k * 1.44x^2 / 2.197y^3

z' = k * x^2 / y^3 * 1.44 / 2.197   (將原本z既部分擺埋一齊,另外既數字擺埋一齊)

z' = z * 1.44 / 2.197

z' = z * 0.6554

z' = z * ( 1 - 0.3446 )                 (要變做1+或者1-,後面個數先係百分比轉變)

答案就係..z減少左34.46%
書好多時都教 ( 新 - 舊 ) / 舊 * 100%..咁有d多餘..因為咁做都係要搵個原本既z約走佢,用上面個方法就方便d

eg2. z = k * x^1/2 / y ^2
x increases 44%, y decrease 25%, z % change?
做法: z' = k * (1.44x)^1/2 / (0.75y)^2
z' = k * 1.2x^1/2 / 0.5625y^2
z' = z * 1.2 / 0.5625
z' = z * 2.1333
z' = z * (1+1.1333)
so z increases 113.33%

eg3. z = k * x^1/2 / y ^2
x increase 44%, z decrease 25%, y % change?
首先要轉主項(subject)做y..之後做法同上~唔多講了~

＊DSE Maths/AL M&S II: Probability Distribution

題目:
The number of people entering the entrance in a minute follows Poisson Distribution with mean 3.
a) Find the probability of exactly 4 people entering the entrance in a minute
b) Find the probability of exactly 4 people entering the entrance in two minutes
c) Find the probability of exactly 4 people entering the entrance in one of three minutes

做probability要小心個單位, 本身個Poisson係per minute, X~Po(3)
(a) part單位都係one minute, 所以可以就咁用本身個Poisson去計:
e^-3 * 3^4 / 4! = 0.1680
(b) part單位係two minutes, 所以係兩個Poisson, 同埋係2分鐘total有4個人,而冇限制每分鐘要有幾多人,即係有  0+4, 1+3, 2+2, 3+1, 4+0  咁多個case:
e^-3 * e^-3 * 3^4 / 4! *2 ( 0+4 , 4+0 ) + e^-3 * 3 * e^-3 * 3^3 / 3! *2 ( 1+3 , 3+1 ) + e^-3 * 3^2 / 2! * e^-3 * 3^2 / 2! ( 2+2 ) = 0.1339
or 用合體Poisson去計(唔知比唔比分): Y~Po(6)
e^-6 * 6^4 / 4! = 0.1339
(c) part單位係three minutes(其中one minute), 即係變左第二個Distribution -- Binomial, Z~B(3, 0.1680)
個p(0.1680)係one minute 4個人既prob,即係(a) part ans
P(Z=1) = 3C1 * 0.1680 * ( 1- 0.1680 )^2 = 0.3489

＊注意禁機個陣唔好只係禁0.1680,要用多幾個位,或者直頭用返e^-3 * 3^4 / 4!,咁先準＊

總之,要留意個單位!!Section B既probability九成九本身係一個distribution(例如單位係one minutes),之後就會問幾個distribution既情況(例如two minutes, one in three minutes, or until n minutes),咁就會變左一個Binomial or Geometric,之前計既prob好大機會會變左Binomial or Geometric既p

DSE Maths-Core III: Quaduatic Equation一元二次方程2

題目: x + (x-1)^1/2 - 7 = 0

做呢d本身唔係2次既方程時,就特登整個2次出黎啦
呢條有兩個做法,
第一個係調個 開方(x-1) 去右面先,然後兩面2次方(square),咁就冇左個開方(square root):
x-7 = - (x-1)^1/2  -------  step1
(x-7)^2 = x-1
x^2 - 14x + 49 = x - 1
x^2 -15x + 50 = 0
x = 10 or 5

＊不過要極度小心,兩面2次方係有機會整多左一個答案出黎,所以請代返入原本條式度睇下rej邊個＊

點解會多左一個答案? 例如原本係2=2,將兩面2次,會變左2^2=2^2,但(-2)^2同2^2一樣,所以會多左2=-2呢個錯既解,如step1代10入x-7計到正,但右面應該係負,兩面2次方就會計埋10呢個ans

when x=10, 10 + (10 - 1) ^1/2 - 7 = 6, rejected, so x=5

第二個做法係將 (x-1)^1/2 當係一個變數(variable)(一元),呢個元既2次就係 (x-1) 喇: 

x + (x-1)^1/2 - 7 - 1 + 1 = 0

(x - 1) + (x-1)^1/2 - 6 = 0  (好似 x^2 + x - 6 = 0 咁)

禁機~a=1,b=1,c=-6,禁到ans係+2同-3

即係(x-1)^1/2 = 2 or -3(rej)(開方之後係正數)
x-1=4

x=5

呢個方法好快..不過都係要識reject

eg2. x - 16(x+3)^1/2 + 63 = 0

方法一: 

x + 63 = 16(x+3)^1/2  -------  step1

(x+63)^2 = 256(x+3)

x^2 + 126x + 3969 = 256x + 768

x^2 - 130x + 3201 = 0

禁機,a=1,b=-130,c=3201,

x = 33 or 97, 今次就唔洗reject,因為兩個解代入x+63都係正,符合step1右邊要正數既要求

方法二:

x + 3 - 16(x+3)^1/2 +60 = 0

禁機,a=1,b=-16,c=60,禁到ans係6同10

 (x+3)^1/2 = 6 or 10

x+3 = 36 or 100, 今次就唔洗reject,因為兩個解都係正數

x = 33 or 97

DSE Maths/AL M&S I: Permutation & Combination 排列&組合1

題目1: 3男4女2人妖互排..男仔痴埋一齊既排列(no. of arrangements)

首先計人互排,題目將男仔同非男仔分開,所以鐵膽就係男仔同非男仔各自互排: 3!*6!
之後就計人揀位既揀法: 男仔痴埋一齊,當坐一個位,即係總共7個位(1男4女2妖)
男仔揀位就7C1,非男仔揀位就6C6(比男仔揀左一個),(邊個揀先都冇所謂)
答案就係3!*6!*7C1* 6C6,當然夠熟既可以答3!*7!


題目2: 3男4女2人妖互排..男仔唔痴埋一齊既排列

首先計人互排(男仔同非男仔): 3!*6!
之後計人揀位: 首先安置左非男仔(N)(因為要男仔揀位),總共有6個:

 _ N _ N _ N _ N _ N _N _

男仔有7個位可以揀(藍線,揀呢D位都係令男仔冇得痴埋一齊,而個位揀左就唔可以再揀),總共要揀3個,即係7C3
答案就係3!*6!*7C3,其實都可以安置男仔先,但就要計多好多情況


題目3: 3男4女2人妖互排..男仔痴埋一齊,女仔唔痴埋一齊既排列

首先計人互排(男仔,女仔同人妖): 3!*4!*2!
之後計人揀位: 男仔痴埋一齊當坐一個位,總共當有3個非女仔(N)(1男2妖),女仔有4個,安置非女仔先
_ N _ N _ N _
女仔揀位: 4個位(藍線)揀個4個,即係4C4
男仔揀位: 3個N揀一個,即係3C1
人妖揀位: 淨低2個N揀2個,即係2C2
答案就係3!*4!*2!*4C4*3C1*2C2

不斷重覆計人互排 &人揀位 就可以KO呢D排隊題

＊DSE Maths-Core II: Linear Programming線性規劃

題目: 4x+3y>1

咁首先當然要畫條線 4x+3y=1 出黎先啦
之後搵個範圍,好多人都會代點,例如代(0,0)入去,睇下大過1定細過1,再決定 4x+3y>1 係唔係(0,0)個面
長問題可以咁做..不過有個好快既方法知道答案
首先睇x既系數既正負值,再睇x係大過定細過,

正x : 大過 <--> 就係條線既右邊

正x : 細過 <--> 就係條線既左邊

負x : 大過 <--> 就係條線既左邊

負x : 細過 <--> 就係條線既右邊

4x+3y>1 --> 4x係正 --> 大過(>) --> 條線既右邊, 完全唔洗理3y同1
睇y都得~不過就唔係左右,而係上下

正y : 大過 <--> 就係條線既上邊

正y : 細過 <--> 就係條線既下邊

負y : 大過 <--> 就係條線既下邊

負y : 細過 <--> 就係條線既上邊

4x+3y>1 --> 3y係正 --> 大過(>) --> 條線既上邊, 完全唔洗理4x同1
要注意, 大過同細過 係睇你睇x定y
例如 4x>-3y+1,你睇x既話就係大過,睇y既話就係細過
總之,正x大過就右,細過就左;正y大過就上,細過就下,負就掉返轉

掉返轉,如果有條線4x+3y=1,陰影部分係條線右面(or上面),咁點呢?
右面-->4x係正-->所以係大過  4x+3y>1 or
上面-->3y係正-->所以係大過  4x+3y>1
呢個方法唔知有冇分,但可以好快咁知道答案,MC可以用多d~

eg2. 2x-7y<5        x係正,細過,所以係條線左邊 / -7y係負,大過,所以係條線下邊
eg3. 3x>-9y+10    x係正,大過,所以係條線右邊(唔洗理-9y同10) / -9y係負,細過,所以係條線上邊
eg4. -5x<8y          x係負,細過,所以係條線右邊 / 8y係正,大過,所以係條線上邊
eg5. 6x-7y=-5, 陰影係右/下           x係正,右,所以係大過,6x-7y>5 / y係負,下,所以係大過,6x-7y>5
eg6. -x=5y, 陰影係左/下                 x係負,左,所以係大過,-x>5y / y係正,下,所以係細過,-x>5y (5y細過-x)

希望幫到你地啦 =]

DSE Maths-Core I: Quaduatic Equation一元二次方程

題目:  (2x-5)(x-2) = (2x-5)

慢的做法: 將一面變做0,然後爆開,再禁機
(2x-5)(x-2) - (2x-5) = 0
2x^2-9x+10-2x+5 = 0
2x^2-11x+15 = 0
x = 5/2 or 3

錯的做法: 兩面就咁直接除(2x-5)
(2x-5)(x-2) / (2x-5) = 1
(x-2)=1
x=3
以上既step本身冇錯,但因為(2x-5)可以等如0,當2x-5=0,就唔可以除(0唔可以係分母),除左就會計漏一個解

最好做法: 第一個解: 兩面一樣既factor set做等如0; 第二個解: 兩面除一樣既factor(好似上面咁)
(2x-5) = 0  or  x-2 = 1
x = 5/2 or 3


eg2.  (3x+2)(x-4) = (2x-9)(x-4)
(3x+2) = (2x-9)  or  (x-4) = 0
x = -11 or 4