＊DSE Maths/AL M&S : Probability Distribution2

題目: 小明每日返學(唔計六日)都買一張擦擦卡, 有"1", "2", "3" 三個number其中一個, 一個禮拜內開到三個1就可以換到一個A, 四個2可以換到一個B, 3就乜都冇, 1,2,3唔可以累積落下個禮拜, 總共兩個A可以換到大奬, 二個B換到二奬, 假設一張卡擦到1既prob係0.05,擦到2係0.25,擦到3係0.7, 買四個禮拜(20日):

a) 一個week換到Aor換到B既prob分別係?
換到A: geometric咁計X~Geo(0.05): 第三日開到第三個1 +  第四日開到第三個1 + 第五日開到第三個1:
0.05^3 + 3C1 * ( 1-0.05 ) * 0.05^3 + 4C2 * ( 1-0.05 )^2 * 0.05^3 = 0.001158 -- a
換到A: binomial咁計X~B(5,0.05): 一個week內拎到起碼(at least)三個1
P(X>3) = 5C3 * 0.05^3 * 0.95^2 + 5C4 * 0.05^4 * 0.95 + 0.05^5 = 0.001158 -- a
換到B: geometric咁計Y~Geo(0.25): 第四日開到第四個2 +  第五日開到第四個2
0.25^4 + 4C1 * ( 1-0.25) * 0.25^4 = 0.015625 -- b
換到B: binomial咁計Y~B(5,0.25): 一個week內拎到起碼(at least)四個2
P(Y>4) = 5C4 * 0.25^4 * 0.75 + 0.25^5 = 0.015625 -- b

b) 換到大奬(四個禮拜內有2個A就有)or二奬(四個禮拜內有2個B就有)既prob分別係?
換到大奬: geometric咁計A~Geo(a = 0.001158):
第二個week換到第二個A + 第三個week換到第二個A +  第四個week開到第二個A:
a^2 + 2C1 * (1-a) * a^2 + 3C2 * (1-a)^2 * a^2 = 0.000008035099777
換到大奬: binomial咁計A~B(4,a): 四個week內拎到起碼(at least)二個A
P(A>2) = 4C2 * a^2 * (1-a)^2 + 4C3 * (1-a) * a^3 + a^4 = 0.000008035099777
換到二奬: geometric咁計B~Geo(b = 0.015625):
第二個week換到第二個B + 第三個week換到第二個B +  第四個week開到第二個B:
b^2 + 2C1 * (1-b) * b^2 + 3C2 * (1-b)^2 * b^2 = 0.001434504986
換到二奬: binomial咁計B~B(4,0.015625): 四個week內拎到起碼(at least)二個B
P(B>2) = 4C2 * b^2 * (1-b)^2 + 4C3 * (1-b) * b^3 + b^4 = 0.001434504986

c) given小明換到一個大奬, 佢最後一個week先換到既prob?
分母: 換到一個大奬: P(A=2 or 3) = 4C2 * a^2 * (1-a)^2 + 4C3 * (1-a) * a^3 = 0.000008035097978
分子: 換到一個大奬 & 最後一個week先換到..
即係geometric既"第四個week開到第二個A": 3C2 * (1-a)^2 * a^2 = 0.000004014445908
or binomial咁計: P(A=2 & 第二個A排LAST位) = 4C2 * a^2 * (1-a)^2 * 3! *2! / 4! = 0.000004014445908
分子除分母 = 0.000004014445908 / 0.000008035097978 = 0.4996

d) given小明換到奬, 佢淨係拎到一個奬既prob?
分母: 換到奬 : 1C0D + 1D0C + 2C + 2D + 1C1D -> 換到C + 換到D (b part ans) - 1C1D
0.000008035099777 + 0.001434504986 (b part ans) - 4C2 * a^2 * b^2 = 0.001442538121
分子: 換到奬 & 淨係拎到一個奬: 1C0D + 1D0C -> 換到奬 - 1C1D - 2C - 2D
0.001442538121(分母) - 4C2 * a^2 * b^2 - a^4 - b^4 = 0.001442478514
分子除分母 = 0.999957317

e) given小明換到一個奬, 呢個奬係大奬既prob?
分母: 換到一個奬:  1C0D + 1C0D = 0.001442478514 (d part分子)
分子: 換到一個奬 & 呢個係大奬: -> 2A1B or 2A0B or 3A1B or 3A0B =
4C2 * a^2 * 2C1 * b * ( 1-a-b ) + 4C2 * a^2 * ( 1-a-b )^2 + 4C3 * a^3 * ( 1-a ) = 0.000008033133251
分子除分母 = 0.005638136604

f) given呢4個week得1A1B, 而家係月尾, 小明唔甘心要買到中到奬為止(大或二都得), 佢平均要等多幾多個week? (呢條我諗完都唔係咁肯定~haha)
買到中奬為止~即係geometric, mean係1/p, p = 中AorB機會 = a+b = 0.016783125
1/p = 59.58365918..(單位係week..即係要成年=.=), 問題係1/p只係計每次中AorB平均隔左幾多個week, 
注意而家係月尾..即係第四week尾, 唔一定岩岩中完AorB..
頭4個week中1A1B可以有幾種情況:
第二個week就中1A1B -> 等少兩個week -> 1/6 機會(計互排je..自己試下計)
第三個week先中1A1B -> 等少一個week -> 1/3機會
第四個week先中1A1B -> 岩岩先中完, 冇等少到 -> 1/2機會
所以ans應該係..1/6 * ( 1/p - 2 ) +  1/3 * ( 1/p - 1 ) + 1/2 * ( 1/p )
= 58.91699251 week